Отслеживая выкладки Князя Владимира (в которых, кстати, есть ошибка), я заодно обнаружил ошибку в своих собственных выкладках...Короче, все решилось. Ура!
Сообщения: 134Зарегистрирован: 28 янв 2008, 18:19Откуда: Ростов-на-Дону
Закон Кулона не объявишь вне закона ну, разве что через Басманный суд. Y Тимур Шаов
Попробую. Во всяком случае, так мы решали в школе лет 20 назад...1) Покажем, что неравенство выполняется при n=2 (наименьшее из допустимых):(2n)! / n!=4!/2!=24/2=12;(4^n) * n! / (n+1)=(4^2) * 2! / (2+1)=16*2/3=32/3;12>32/3.2) Предположим, что неравенство верно при n=k:(2k)! / k! > (4^k) * k! / (k+1).3) Докажем, что, если оно верно при n=k, то оно верно при n=k+1:(2n)! / n!=(2k+2)! / (k+1)!={(2k)! / k!}*{(2k+2)*(2k+1)/(k+1)}={(2k)! / k!}*{2*(2k+1)};(4^n) * n! / (n+1)=[4^(k+1)] * (k+1)! / (k+2)={(4^k) * k! / (k+1)}*{(k+1)^2/(k+2)}(обе части неравенства мы выразили через соответствующие части неравенства из п. 2).Следовательно, нам нужно доказать, что верно неравенство:{(2k)! / k!}*{2*(2k+1)} > {(4^k) * k! / (k+1)}*{(k+1)^2/(k+2)};но, так как мы предположили, что (2k)! / k! > (4^k) * k! / (k+1), то для доказательства нам достаточно показать, что2*(2k+1) > (k+1)^2/(k+2),или, иначе2*(2k+1)*(k+2) > (k+1)^2,то есть2*(2k+1)*(k+2) - (k+1)^2 >0.Распишем:2*(2k+1)*(k+2) - (k+1)^2 = 2*(2k^2+5k+2) - k^2+2k+1 = 3*k^2+8k+3;а, поскольку 3*k^2+8k+3 >0 при любом k>1, то, следовательно, мы доказали, что неравенство выполняется при n=k+1.Значит, неравенство выполняется для любого целого n>1.
Сообщения: 7570Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 15:05Откуда: С большой дороги.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Задачка из экзамена по математике на аттестат зрелости (израильская школа...).Я решить не смог. Помогайте.Доказать по индукции, что для любого целого n>1 справедливо неравенство:(2n)! / n! > (4^n) * n! / (n+1)
danetka.ru • Просмотр темы - Очень стыдно, но.... - 2
Комментариев нет:
Отправить комментарий